воскресенье, 23 декабря 2012 г.

Функция

Впервые идея функции встречается у Р. Декарта, который обратил внимание на соответствие между отрезками — ординатой и абсциссой некоторой точки. В 1673 г. он ввел термин функции.
 Аналогичную характеристику функции дал Г.В. Лейбниц. Итак, первая трактовка функции носила геометрический характер. Постепенно понятие функции приобретает аналитический характер (Яков Бернулли, Иоганн Бернулли).

 В 1748 г. Л. Эйлер рассматривает функцию переменного количества: функция переменной величины есть аналитические выражение, составленное каким-то способом из этой переменной величины и из числа или постоянной величины плюс линия, проведенная от руки. При таком определении объем понятия функции зависит от того, какие операции считаются аналитическими, ограничен способом задания функции, рассмотрением множеств не любой природы, а только удовлетворяющим аксиомам величины.

 Современное определение функции как соответствия между множествами любой природы восходит к Н.И. Лобачевскому. В 1834 г. он определяет функцию как зависимость между объектами, понимая под объектами числа.
 В 1837 г. П.Г. Лежён Дирихле распространяет это определение на объекты разной природы, но оставляет статическим (исключая переменные величины). В курс алгебры это определение вошло под названием определение Дирихле — Лобачевского.

Алгебра . Аль-Хорезми


Первым руководством по решению задач с неизвестными стал труд арабского ученого Мухаммеда Бен Муссы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактатаКитаб аль-джебр валь-мукабала («Книга о восстановлении и противопоставлении») превратилось в знакомое нам слово «алгебра», а сочинение аль-Хорезми стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Восстановлением («аль-джебр») аль-Хорезми называл операцию исключения из обеих частей уравнения вычитамых членов путем прибавления противоположных им по знаку. Противопоставлением («аль-мукабала») называлось сокращение в обеих частях уравнения одинаковых членов.
Книга эта — явление уникальное. Если древние греки шли от геометрии к алгебре, то аль-Хорезми использует геометрию для иллюстрации алгебраических правил, которые для него первичны.

Конические сечения


Название этих кривых предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения» («О кониках»). Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения.

Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого.
При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви.
Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, параболу, гиперболу, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н. э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?» Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; параболу — если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой.

Прогрессия


Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression — «движение вперед»). Он был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий — арифметическая и геометрическая — сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессии используются для объяснения явлений не только в природе, но и в обществе. Так в XIX в. Томас Мальтус сформулировал «естественный закон», по которому рост населения Земли происходит по законам геометрической прогрессии, а производство продовольствия и других средств существования развивается по законам арифметической прогрессии. Он считал, что это связано с законом убывающей производительности последовательных затрат. Состояние общества зависит от роста населения, а рост населения определяется биологическими законами размножения.

четверг, 20 декабря 2012 г.

У нас - Дед Мороз!

Дед Моро́з  — главный сказочный персонаж на празднике Нового года, восточнославянский вариант рождественского дарителя. Изначально в славянской мифологии — олицетворение зимних морозов. Создание канонического образа Деда Мороза как обязательного персонажа новогоднего — а не рождественского — праздника произошло в советское время и относится к концу 1930-х гг., когда после нескольких лет запрета вновь была разрешена ёлка.
Обычно изображается в красной, синей, иногда белой шубе, с длинной белой бородой и посохом в руке, в валенках. Ездит на тройке лошадей. Неразлучен со своей внучкой Снегурочкой, обычно изображаемой в белой или серебристой шубе.
 
Санта-Клаус (англ. Santa Claus) - рождественский дед, североамериканский сказочный (фольклорный) персонаж, который дарит подарки детям на Рождество Христово.
Родиной Санта-Клауса считается Лапландия. Так же бытуют мнения, что родиной Санты-Клауса является Северный полюс. Прообразом Санта-Клауса является общехристианский святой Николай Мирликийский (Санта — «святой», Клаус — «Николай»), известный по житию своей благотворительностью (помощью бедным людям в виде тайных подарков).
В 1931 году компания «Кока-кола» запустила рекламную кампанию, в которой представила несколько модернизированный образ Санты. Принято считать, что передвигается Санта-Клаус на санях, запряжённых оленями.

 

 

пятница, 14 декабря 2012 г.

Готическая живопись


Готической живописью являются преимущественно работы, сделанные в 12-14 веках, а также некоторые живописные творения 15-16 веков. При характеристике этих работ говорят, что они вызывают средневековое «апокалипсическое» настроение. Расцвет готической живописи достигается в работах нидерландских живописцев, в частности Р. Ван дер Вейдена, который на самом деле перенял многие принципы работы у Ван Эйка, который был представителем реалистической живописи.

 
Другим ярким представителем готики является Р. Кампен – фламандский живописец, который иллюстрировал «Страсти Господни». Именно благодаря работам указанных мастеров были выведены новые формы групповой композиции.

В Европе готика распространилась с середины 14 века. Итальянский живописец А.Лоренцетти изобразил на стене собственного дома в Сиене «Аллегорию доброго правительства».

Отличительными чертами готического стиля в живописи является особый принцип изображения распятого Христа. Внимание акцентируется на прекрасных женщинах, которые объяты горем, и контрастируют с истерзанным телом Иисуса. Богоматерь изображается в большинстве случаев лишенная чувств, что символизирует высшее горе и страдание. Распятие уже не икона, а целый рассказ о Страстях Христовых, наполненный эмоциями и некоторой индивидуальностью.


Изображения ликов реалистичны, что явилось в эту эпоху признаком зарождения нового направления, называемого натурализмом. Натурализм в готике со временем стал преобладать.

Мастера живописи стали использовать пустоту для того, чтобы подчеркнуть материальность изображаемого. Ярким примером готического искусства является «Гентпский алтарь», авторами которого стали братья Ван Эйк. Изображения на алтаре разделены пустотой. Любое изображение на алтаре предельно символично и является знаком определенного обширного содержания.

Наиболее выдающиеся представители готической живописи: Р. ван дер Вейден и братья Эйк, Х.Босх и А.Дюрер.

Живопись барокко


Слово «барокко» итальянского происхождения, буквально означает «странный», «причудливый». Такое название весьма соответствует особенностям основного стилистического направления в европейском искусстве с конца 16 века - середины 18 века. В истории искусства 19 и особенно 20 века термином «барокко» начинают обозначать все европейское искусство 17-18 веков.



Искусство барокко сложилось и расцвело в Италии, где работали крупнейший архитектор и скульптор Л. Бернини.


В изобразительном искусстве этого периода преобладали сюжеты, в основе которых был заложен драматический конфликт, - религиозного, мифологического или аллегорического характера. Создаются парадные портреты, предназначенные для украшения интерьеров. Особенность барокко - не соблюдение ренессансной гармонии ради более эмоционального контакта со зрителем. Большое значение приобрели композиционные эффекты, выраженные в смелых контрастах масштабов, цветов, света и тени. Но при этом художники барокко стремятся к достижению ритмического и цветового единства, живописности целого.

Барокко получило распространение во Фландрии (знаменитые представители барокко во Фландрии - П. П. Рубенс, Ф. Снейдерс, Я. Йорданс, А. ван Дейк), в Испании, Португалии, на юге Германии, в Австрии, Чехии, Словакии, Хорватии, на западе Украины, в Литве. Во Франции барокко слилось с классицизмом в единый пышный стиль.




Для искусства барокко характерны грандиозность, пышность и динамика, патетическая приподнятость, интенсивность чувств, пристрастие к эффектным зрелищам, совмещению иллюзорного и реального, сильным контрастам масштабов и ритмов, материалов и фактур, света и тени.

В изобразительном искусстве барокко преобладают виртуозные декоративные композиции религиозного, мифологического или аллегорического характера, парадные портреты, подчёркивающие привилегированность общественного положения человека. Идеализация образов сочетается в них с бурной динамикой, неожиданными композиционными и оптическими эффектами, реальность - с фантазией, религиозная аффектация - с подчёркнутой чувственностью, а нередко и с острой натуральностью и материальностью форм, граничащей с иллюзорностью. В живописи большое значение приобретают эмоциональное, ритмическое и колористическое единство целого, часто непринуждённая свобода мазка, в скульптуре - живописная текучесть формы, ощущение изменчивости становления образа, богатство аспектов и впечатлений.

В Италии – на родине барокко – отдельные его предпосылки и приёмы проявились в 16 веке в станковой и декоративной живописи Корреджо, творчестве Караваджо.



 Позднее итальянское барокко эволюционировало к бравурности живописи С. Розы и А. Маньяско, головокружительной лёгкости росписей Дж. Б. Тьеполо. Во Фландрии мироощущение, рождённое Нидерландской буржуазной революцией 1566-1602, внесло в искусство барокко мощные жизнеутверждающие реалистические начала (живопись П. П. Рубенса, ван Дейка, Я. Йорданса).

 
 В Испании в 17 веке некоторые черты барокко проступали в реалистической живописи X. де Риберы и Ф. Сурбарана.

В России развитие искусства барокко, отразившего рост и укрепление дворянской абсолютной монархии, приходится на 1-ю половину 18 века. Стиль барокко в России был свободен от экзальтации и мистицизма (характерных для искусства католических стран) и обладал рядом национальных особенностей. Изобразительные искусства обращались к светским, общественным темам, получил развитие портpет.

Совершенное число


Совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, в том числе единица, но исключая само себя. Первое и наименьшее из совершенных чисел — 6. Совершенное число шесть равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Далее по мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 2 096 128, шестое — 33 550 336, седьмое — 8 589 869 056 .

Первое крупное достижение в области теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2n-1(2n-1) — четное и совершенное, в том случае, если число 2n-1 простое.
Спустя много веков, Леонардо Эйлер доказал справедливость теории Евклида. Таким образом, в формуле Евклида содержатся все четные совершенные числа. За все время изучения совершенных чисел не было найдено ни одного нечетного совершенного числа. Однако это не исключает возможности их существования.

С помощью формулы Евклида можно доказать огромное количество свойств совершенных чисел. К примеру: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+... Не менее интересным свойством совершенных чисел является то, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2:
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
Интересно представление совершенных чисел в двоичной форме и многое другое. Следует отметить, что все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

пятница, 7 декабря 2012 г.

Архитектура модерна

Модерн зарождается на рубеже XIX – XX веков как течение противоположное рационализму. Родоначальником данного направления является художник-архитектор из Бельгии Виктор Орт. Лучшие мастера модерна в своих работах сочетали архитектуру, пластику, живопись, декоративно-прикладное искусство.

Дом книги. Санкт-Петербург.


Стиль модерн стал широко развиваться в архитектуре городских зданий: особняков, вилл, многоэтажных зданий. При строительстве домов широко использовали прием асимметрии. Формы окон, дверей и лестниц очень разнообразные. Архитекторы используют разные цветовые сочетания, многообразие фактур керамической облицовки. Данному стилю свойственны орнаменты в форме растений, морских раковин, все линии плавные. Для фасадов характерны округлые проемы, кованые решетки, сделанные из металла.

Мастерами используется разнообразный материал: железобетон, стекло, метал в качестве конструктивно-декоративного элемента. Железобетон воспринимается не просто как строительное средство, а эстетически переосмысливается. Большое влияние на модерн оказало появление электричества. Активно использовались разнообразные подсветки, которые придавали сооружению особую выразительность.

Особенностью модерна является стремление к целостному подходу при оформлении отдельных сооружений. Часто фасады оформлялись плоской гипсовой лепкой. В рисунках часто использовались различные растения. Обращались мастера к геометрическому орнаменту. Цветовая гамма свет обычно отличалась пастельными тонами: сиреневый, оттенки зеленого, бело-серые.

Модерн очень быстро стал популярен среди широких слоев населения, он очень стремительно вытеснил рационализм, господствующий в течение 50 лет. Спустя 20-25 лет модерн постепенно перерождается в функционализме и экспрессионизме.

среда, 5 декабря 2012 г.

Государственный Эрмитаж.Санкт-Петербург


Экспозиции музея “Государственный Эрмитаж” размещаются в шести зданиях на Дворцовой набережной. Здесь хранятся богатейшие коллекции, рассказывающие о первобытной культуре и искусстве античного мира, западноевропейских стран, Востока и России.



Например, западноевропейский отдел посвящен искусству Италии, Испании, Голландии, Франции, Англии и Германии. Здесь представлены картины Леонардо да Винчи, Рафаэля, Тициана, Караваджо, Эль Греко, Д. Веласкеса, А. Ван Дейка, Ван Гога, Клода Моне, Поля Сезанна, Пабло Пикассо и многих других мастеров живописи. В отделе русской культуры находится более 300 тысяч экспонатов, рассказывающих об искусстве России с Древних времён и до начала 20 века.





Экспозиция, посвященная культуре и искусству Востока, занимает более 50 залов и представляет зрителю около 180 тысяч экспонатов. Это богатые коллекции памятников культуры и искусства Древнего Египта, Месопотамии, Средней Азии, Византии, Китая, Японии, Таиланда. В Эрмитаже также находится галерея драгоценностей, где можно увидеть золото скифов, греков, драгоценные предметы эпохи Киевской Руси и Средневековой Европы, предметы церковной утвари 15-19 веков, ювелирные украшения Востока и Западной Европы.



В экспозициях Эрмитажа представлены не только произведения изобразительного искусства и скульптуры, но и произведения народно-прикладного искусства: оружие, монеты, медали, книги, археологические находки, египетские мумии, античная керамика и многое другое.
Зимний дворец является грандиозным сооружением архитектуры 18 века, а расположенный в нем Эрмитаж – памятником культуры и искусства.

вторник, 4 декабря 2012 г.

Русские художники. Брюллов К.П.


  
Брюллов Карл Павлович [ 1799 — 1852], российский художник. Наряду с А. А. Ивановым — наиболее известный мастер русского изобразительного искусства романтизма.


Выходец из обрусевшей немецкой семьи, сын резчика по дереву, Брюллов учился в Академии художеств (1809-21) у А. И. Иванова и А. Е. Егорова. Выехав в Италию как пенсионер Общества поощрения художеств, жил и работал там в 1823-35  («Итальянский полдень», «Вирсавия»). 
Он выступает и как мастер светского портрета, превращая натурный мотив в образец райски идиллической гармонии («Всадница (Дж. и А. Паччини)»).




«Последний день Помпеи»


Обуреваемый жаждой большой исторической темы, в 1830, побывав на месте раскопок древнего города, Брюллов начинает работу над полотном «Последний день Помпеи». Результатом становится величественная «картина-катастрофа» (завершенная в 1833 и хранящаяся в Русском музее). Трагический пафос картины усиливается бурной пластической экспрессией фигур и резкими светотеневыми контрастами. Брюллову удалось изобразить охваченную единым порывом толпу граждан в роковой момент ее исторического бытия, создав тем самым первый пример той многофигурной исторической картины-итога, которую вся русская живопись 19 века осознавала в качестве своей сверхзадачи.
«Последний день Помпеи» производит фурор — как на родине мастера, так и за рубежом. В Италии и Франции картину приветствуют как первый триумф русской художественной школы. 

Другие большие исторические замыслы Брюллова, с помощью которых он мечтал повторить успех «Помпеи», остаются неосуществленными или осуществленными лишь частично.

 В 1835, по пути из Италии на родину, он создает зарисовки Восточного Средиземноморья, сочетающие мечтательный лиризм с тонкой археологической и бытовой наблюдательностью. Позже восточные мотивы оживают в картине «Бахчисарайский фонтан» (на сюжет поэмы А. С. Пушкина, 1849, Музей А. С. Пушкина, г. Пушкин) и примыкающих к ней набросках на гаремную тему.

Торжественно встреченный на родине как первый художник России, он, побуждаемый императором Николаем I, обращается к русскому прошлому. Но картина «Осада Пскова Стефаном Баторием» (1836-37, Третьяковская галерея) не стала новым шедевром.

 Художник с увлечением берется за монументально-декоративные проекты; антично-мифологические мотивы обретают полнокровную жизненность в эскизах росписей Пулковской обсерватории. Этюды и наброски ангелов и святых для Исаакиевского собора (1843-48) проникнуты внутренней силой и величием, однако и здесь, как в Пулкове, конечные результаты оказываются значительно холоднее исходного замысла. 

Портрет остается той областью, где талант Брюллова царствует полновластно и блистательно. Он по-прежнему пишет бравурные светские портреты, впечатляющие своими сильными красочными и композиционными эффектами («Графиня Ю. П. Самойлова, удаляющаяся с бала с приемной дочерью А. Паччини»). Иное, созерцательно-спокойное настроение доминирует в образах людей искусства, более сдержанных по колориту, который как бы мерцает изнутри формы, подчеркивая духовную значительность моделей («Поэт Н. В. Кукольник», 1836; «Скульптор И. П. Витали»,  «В. А. Жуковский», «И. А. Крылов», «А. Н. Струговщиков»). К данному циклу примыкает и «Автопортрет» (1848, Третьяковская галерея), написанный теплым тоном и легкой кистью, но проникнутый настроениями глубокой меланхолии, усталости и нездоровья.

С 1849 Брюллов, слабея от болезни, живет на о. Мадейра, а с 1850 — в Италии. И в последний период своей жизни мастер создает экспрессивные, полные тонкой духовной грации портреты.


Проблема четырёх красок


 В 1852 году англичанин Фрэнсис Гатри  неожиданно для себя выяснил, что, имея в наличии всего лишь четыре краски, он может совершенно свободно раскрасить карту таким образом, что две соседние области не будут окрашены в один и тот же цвет. Через некоторое время Гатри задал себе вопрос: а что, если не только карты британских графств, но и любая другая карта с любым количеством областей может быть раскрашена с использованием минимального числа красок — четырех, и при этом две граничащие области не будут иметь общую окраску. 

С этого момента Проблема четырех красок  начала свое триумфальное шествие по миру, и в конце XIX века была решена британским математиком Альфредом Кемпе, который научно обосновал использование для раскраски любой карты именно четырех красок. Однако через 10 лет Перси Хивурд опроверг доказательство Кемпе, в свою очередь представив новое решение Проблемы четырех красок, которое на деле также оказалось не лишенным существенных недостатков.

С течением времени, опираясь в большей степени на топологию, которую, в отличие от геометрии, не интересуют точные формы и размеры, математики сумели доказать, что только карта, содержащая определенное число областей (25, 27, 35, 39), может быть раскрашена четырьмя красками. Иными словами, рассматривались исключительно частные случаи решения проблемы, а общий — главнейший — для бесконечно большого числа областей — оставался непокоренным.

Однако в 1976 году математики Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, проанализировав с помощью компьютера 1482 карты, выяснили и научно доказали, что четырех красок для раскрашивания любой карты будет достаточно. Результат был подвергнут сомнению со стороны тех математиков, которые, отказав компьютеру в надежности, требовали предъявить письменные — пошаговые — доказательства решения Проблемы четырех красок. На эти требования Хаген и Аппель утверждали, что их доказательство включает в себя такое количество текста и диаграмм, что для их проверки без помощи техники не хватит жизни. 

Великая теорема Ферма


Теореме Ферма, которой по праву принадлежит высокий эпитет — Великая, или Большая, отведено почетное место в ряду математических явлений, т.к. именно эта теорема стала символом-загадкой, над решением которой бились более нескольких столетий (теорема впервые была сформулирована в 1636 году) не только неискушенные математики, но и опытные ученые, считая делом собственной чести найти разгадку этого феномена . Несмотря на то, что в 1995 году Эндрю Уайлсом Теорема Ферма была доказана, эта задача до сих пор входит в число нерешенных математических проблем из-за неистощимого желания математиков найти теперь более простое (доказательство Уайлса занимает около 130 страниц текста) и изящное решение.

Для любого натурального n > 2 уравнение X^n + Y^n = Z^n не будет иметь натуральных решений для x, y и z. 

Если к утверждению Ферма присмотреться повнимательнее, то в нем без труда можно разглядеть не менее знаменитый частный его случай — известнейшую теорему Пифагора, в условии которой n=2 и которая имеет бесконечное множество решений — так называемые пифагоровы треугольники.
 На страницах «Арифметики» Диофанта — любимой настольной книги математика — была найдена весьма провокационная надпись, свидетельствующая о том, что сам-то ученый отыскал необыкновенное, «поразительное», по его словам, доказательство, однако поделиться им не сможет из-за его величины. 
Некоторые частные случаи теоремы Ферма были доказаны: Эйлер, Дирихле и Лежандр, а также Ламе нашли решения для n=3, 5 и 7 соответственно; Куммеру удалось доказать, что теорема может быть верна для всех простых чисел в том случае, если они меньше 100 и не являются 37, 59 и 67; сам Ферма привел доказательство собственной теоремы для n=4, хотя это и поставило под сомнение существование у него полного доказательства. С течением времени значения n все более увеличивались до невероятно больших значений, однако, несмотря на все многочисленные попытки, взять неприступную крепость под названием Теорема Ферма до конца XX века не удавалось никому.
В 1995 году университетский профессор Эндрю Уайлс, опираясь на парадоксальную гипотезу японского математика Таниямы, утверждающую, что «описательные уравнения двух соответствующих друг другу абсолютно разных математических объектов можно разложить в один и тот же математический ряд», и утверждение немецкого математика Герхарда Фрея о том, что только подтвердив гипотезу Таниямы, можно доказать теорему Ферма, первым доказал Великую теорему, став ее истинным покорителем.


суббота, 17 ноября 2012 г.

Корень (радикал)


Действие «извлечение корня» обычно обозначается знаком √  .Это — видоизменение латинской буквы r, начальной в латинском слове, означающем «корень». Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

Было время (XVІ в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R, а рядом с ней ставились первые буквы латинских слов «квадратный» (q) и «кубический» (c), чтобы указать, какой именно корень требуется извлечь.
Например, писали:  R.q. 435

Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки для плюса и минуса, а вместо них писали буквы p. и m., и что наши скобки заменяли знаками |_ и _|, то станет ясно, какой  вид должны были иметь тогда алгебраические выражения.

Кроме обозначения √  теперь употребляется для того же действия еще и другое — каждый корень есть не что иное, как степень, показатель которой — дробное число. Такое обозначение было предложено замечательным голландским математиком XVІ в. Стевином.

 Свойства арифметического корня


Объём


Объем — это величина части пространства, занимаемого геометрическим телом.
В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел - коробок, банок. Раньше, в житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.

 Английские меры:
Бушель — 36,4 дм3.
Галлон — 4,5 дм3.
Баррель (сухой) — 115,628 дм3.
Баррель (нефтяной) — 158,988 дм3.
Английский баррель для сыпучих веществ — 163,65 дм3.


Меры в России:
Ведро — 12 дм3.
Бочка — 490 дм3.
Штоф — 1,23 дм3 = 10 чарок.
Чарка — 0,123 дм3 = 0,1 штофа = 2 шкалика.
Шкалик — 0,06 дм3 = 0,5 чарки.

В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса древние греки умели еще задолго до Архимеда. Но только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем.
Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным в него шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда — о том, что объемы этих тел относятся как 3:2.

воскресенье, 11 ноября 2012 г.

Дружественные числа


Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу.

Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.
В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.
Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.
В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:
Если:
p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,
, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:
2npq и 2nr — пара дружественных чисел.
Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n < 20000 больше никаких пар дружественных чисел нет.
Кстати, многие дружественные числа, например 6232 и 6368, не могут быть получены по этой формуле.

Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:
  • Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.
  • Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.
  • Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.
  • Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)
  • Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  • Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
  • Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году
  • Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.
  • Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
  • Пара66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
  • Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
  • Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
  • Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году. 

суббота, 10 ноября 2012 г.

Русские художники. И.К. Айвазовский.


АЙВАЗ˜ОВСКИЙ Иван Константинович (1817— 1900) — русский живописец-маринист. В романтических полотнах («Девятый вал», 1850; «Черное море», 1881) изображал море, мужество людей, борющихся со стихией, морские сражения.

Выходец из семьи армянского купца, Иван Айвазовский учился в Петербургской академии художеств.
Чисто романтическое мировосприятие, восхищение необъятной, вечно изменчивой стихией моря находит зрелое выражение в работах 1840-х гг., когда художник завоевывает европейскую известность. Ряд зарубежных академий избирает его почетным членом, Дж. Тернер пишет восторженную оду в честь одной из его картин.

Художник необычайно плодовитый, Айвазовский часто прибегал к композиционным и колористическим штампам. Однако в лучших картинах — таких, как «Черное море» (1881, Третьяковская галерея), — проступают лучшие черты его дарования: чуткое понимание эстетики возвышенного, тонкое мастерство тональной передачи света, пронизывающего толщу воды.
Среди большого числа земных ландшафтов, выполненных Айвазовским, выделяются своими бравурными панорамическими эффектами циклы картин, навеянные впечатлениями от путешествий по Украине и Кавказу (1850-60-е годы).


 Не раз он обращался к библейским сюжетам сотворения мира и потопа, к евангельским и античным мотивам. Создавал полотна на темы армянской культуры («Посещение Дж. Г. Байроном монастыря мхитаристов близ Венеции», 1880, Картинная галерея Армении, Ереван).



 К числу любимых писателей Айвазовского принадлежал А. С. Пушкин, в стихах которого он находил поэтическое выражение собственного маринизма. В поздний период художник не раз обращался к образу великого поэта — «Пушкин на берегу моря» (фигура поэта написана И. Е. Репиным, 1897, Музей А. С. Пушкина, Санкт-Петербург).
Важную главу в наследии Айвазовского составляет батальная живопись. С 1844 он был художником Главного морского штаба, написал много значительных картин на темы истории русского военного флота («Чесменский бой», 1848, Феодосийская картинная галерея имени И. К. Айвазовского).


Будучи одним из самых богатых художников России, он много сделал для своего родного города: на его средства были выстроены здания местной картинной галереи, археологического музея, проведены большие работы по благоустройству Феодосии, постройке порта и железной дороги. Из мастерской, созданной им в 1845, вышел целый ряд выдающихся мастеров пейзажа (А.И. Куинджи, К.Ф. Богаевский ). Полнее всего творчество мастера представлено в основанной им Феодосийской картинной галерее, ныне носящей его имя.


«Девятый вал»— одна из самых знаменитых картин Ивана Айвазовского, всемирно известного российского (армянского) художника-мариниста.
Изображает море после сильнейшего ночного шторма и людей, потерпевших кораблекрушение. Лучи солнца освещают громадные волны. Самая большая из них — девятый вал, готова обрушиться на людей, пытающихся спастись на обломках мачты.
Всё говорит о величии и мощи морской стихии и беспомощности перед ней человека. Тёплые тона картины делают море не таким суровым и дают зрителю надежду, что люди будут спасены.


Риманова геометрия


Научно-исследовательские труды Бернхард Римана оказали огромное влияние на развитие математики в конце XIX и начале XX веков.
 Выдающийся математик и геометр Риман ввел так называемые римановы поверхности, которые сыграли важную роль при исследовании многозначных функций. 

В 1854 году в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Риман дал общую идею математического пространства или «многообразия», включая функциональные и топологические пространства. Здесь Риман рассматривал геометрию как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, то есть совокупностях любых однородных объектов. Обобщив результаты К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, Риман сформулировал понятие линейного элемента, так называемого дифференциала расстояния между точками многообразия. Главным достижением ученого Римана стало создание новой геометрии.
Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, объектом изучения которой, главным образом, являются римановы многообразия. Римановы многообразия — это гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, то есть с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.
Подразделом римановой геометрии является геометрия в целом, которая выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия (к примеру, топология или диаметр) и его локальных свойств (к примеру, ограничений на кривизну).
Основными элементами трехмерной римановой геометрии являются точки, прямые и плоскости.
В римановой геометрии имеют место такие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Таким образом, требования аксиом римановой геометрии, относящиеся конгруэнтности, обеспечивают свободные движения фигур по плоскости и в пространстве Римана, как на плоскости, так и в пространстве Евклида.
Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы, а именно: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана. Следует отметить, что, чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым.
«В целом» свойства плоскости Римана отличаются от свойств целой сферы в следующем: на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые выступают как прямые в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость, таким образом, если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а.
Таким образом, Риман построил вторую разновидность неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.
Уникальные идеи и методы, предложенные Риманом открыли новые пути для развития математики и нашли применение в механике и физике. Развитию римановой геометрии послужило создание итальянскими учеными Риччи-Курбастро и Леви-Чивита тензорного исчисления.