суббота, 17 ноября 2012 г.

Корень (радикал)


Действие «извлечение корня» обычно обозначается знаком √  .Это — видоизменение латинской буквы r, начальной в латинском слове, означающем «корень». Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

Было время (XVІ в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R, а рядом с ней ставились первые буквы латинских слов «квадратный» (q) и «кубический» (c), чтобы указать, какой именно корень требуется извлечь.
Например, писали:  R.q. 435

Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки для плюса и минуса, а вместо них писали буквы p. и m., и что наши скобки заменяли знаками |_ и _|, то станет ясно, какой  вид должны были иметь тогда алгебраические выражения.

Кроме обозначения √  теперь употребляется для того же действия еще и другое — каждый корень есть не что иное, как степень, показатель которой — дробное число. Такое обозначение было предложено замечательным голландским математиком XVІ в. Стевином.

 Свойства арифметического корня


Объём


Объем — это величина части пространства, занимаемого геометрическим телом.
В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел - коробок, банок. Раньше, в житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.

 Английские меры:
Бушель — 36,4 дм3.
Галлон — 4,5 дм3.
Баррель (сухой) — 115,628 дм3.
Баррель (нефтяной) — 158,988 дм3.
Английский баррель для сыпучих веществ — 163,65 дм3.


Меры в России:
Ведро — 12 дм3.
Бочка — 490 дм3.
Штоф — 1,23 дм3 = 10 чарок.
Чарка — 0,123 дм3 = 0,1 штофа = 2 шкалика.
Шкалик — 0,06 дм3 = 0,5 чарки.

В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса древние греки умели еще задолго до Архимеда. Но только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем.
Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным в него шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда — о том, что объемы этих тел относятся как 3:2.

воскресенье, 11 ноября 2012 г.

Дружественные числа


Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу.

Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.
В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.
Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.
В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:
Если:
p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,
, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:
2npq и 2nr — пара дружественных чисел.
Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n < 20000 больше никаких пар дружественных чисел нет.
Кстати, многие дружественные числа, например 6232 и 6368, не могут быть получены по этой формуле.

Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:
  • Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.
  • Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.
  • Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.
  • Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)
  • Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  • Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
  • Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году
  • Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.
  • Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
  • Пара66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
  • Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
  • Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
  • Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году. 

суббота, 10 ноября 2012 г.

Русские художники. И.К. Айвазовский.


АЙВАЗ˜ОВСКИЙ Иван Константинович (1817— 1900) — русский живописец-маринист. В романтических полотнах («Девятый вал», 1850; «Черное море», 1881) изображал море, мужество людей, борющихся со стихией, морские сражения.

Выходец из семьи армянского купца, Иван Айвазовский учился в Петербургской академии художеств.
Чисто романтическое мировосприятие, восхищение необъятной, вечно изменчивой стихией моря находит зрелое выражение в работах 1840-х гг., когда художник завоевывает европейскую известность. Ряд зарубежных академий избирает его почетным членом, Дж. Тернер пишет восторженную оду в честь одной из его картин.

Художник необычайно плодовитый, Айвазовский часто прибегал к композиционным и колористическим штампам. Однако в лучших картинах — таких, как «Черное море» (1881, Третьяковская галерея), — проступают лучшие черты его дарования: чуткое понимание эстетики возвышенного, тонкое мастерство тональной передачи света, пронизывающего толщу воды.
Среди большого числа земных ландшафтов, выполненных Айвазовским, выделяются своими бравурными панорамическими эффектами циклы картин, навеянные впечатлениями от путешествий по Украине и Кавказу (1850-60-е годы).


 Не раз он обращался к библейским сюжетам сотворения мира и потопа, к евангельским и античным мотивам. Создавал полотна на темы армянской культуры («Посещение Дж. Г. Байроном монастыря мхитаристов близ Венеции», 1880, Картинная галерея Армении, Ереван).



 К числу любимых писателей Айвазовского принадлежал А. С. Пушкин, в стихах которого он находил поэтическое выражение собственного маринизма. В поздний период художник не раз обращался к образу великого поэта — «Пушкин на берегу моря» (фигура поэта написана И. Е. Репиным, 1897, Музей А. С. Пушкина, Санкт-Петербург).
Важную главу в наследии Айвазовского составляет батальная живопись. С 1844 он был художником Главного морского штаба, написал много значительных картин на темы истории русского военного флота («Чесменский бой», 1848, Феодосийская картинная галерея имени И. К. Айвазовского).


Будучи одним из самых богатых художников России, он много сделал для своего родного города: на его средства были выстроены здания местной картинной галереи, археологического музея, проведены большие работы по благоустройству Феодосии, постройке порта и железной дороги. Из мастерской, созданной им в 1845, вышел целый ряд выдающихся мастеров пейзажа (А.И. Куинджи, К.Ф. Богаевский ). Полнее всего творчество мастера представлено в основанной им Феодосийской картинной галерее, ныне носящей его имя.


«Девятый вал»— одна из самых знаменитых картин Ивана Айвазовского, всемирно известного российского (армянского) художника-мариниста.
Изображает море после сильнейшего ночного шторма и людей, потерпевших кораблекрушение. Лучи солнца освещают громадные волны. Самая большая из них — девятый вал, готова обрушиться на людей, пытающихся спастись на обломках мачты.
Всё говорит о величии и мощи морской стихии и беспомощности перед ней человека. Тёплые тона картины делают море не таким суровым и дают зрителю надежду, что люди будут спасены.


Риманова геометрия


Научно-исследовательские труды Бернхард Римана оказали огромное влияние на развитие математики в конце XIX и начале XX веков.
 Выдающийся математик и геометр Риман ввел так называемые римановы поверхности, которые сыграли важную роль при исследовании многозначных функций. 

В 1854 году в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Риман дал общую идею математического пространства или «многообразия», включая функциональные и топологические пространства. Здесь Риман рассматривал геометрию как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, то есть совокупностях любых однородных объектов. Обобщив результаты К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, Риман сформулировал понятие линейного элемента, так называемого дифференциала расстояния между точками многообразия. Главным достижением ученого Римана стало создание новой геометрии.
Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, объектом изучения которой, главным образом, являются римановы многообразия. Римановы многообразия — это гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, то есть с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.
Подразделом римановой геометрии является геометрия в целом, которая выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия (к примеру, топология или диаметр) и его локальных свойств (к примеру, ограничений на кривизну).
Основными элементами трехмерной римановой геометрии являются точки, прямые и плоскости.
В римановой геометрии имеют место такие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Таким образом, требования аксиом римановой геометрии, относящиеся конгруэнтности, обеспечивают свободные движения фигур по плоскости и в пространстве Римана, как на плоскости, так и в пространстве Евклида.
Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы, а именно: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана. Следует отметить, что, чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым.
«В целом» свойства плоскости Римана отличаются от свойств целой сферы в следующем: на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые выступают как прямые в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость, таким образом, если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а.
Таким образом, Риман построил вторую разновидность неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.
Уникальные идеи и методы, предложенные Риманом открыли новые пути для развития математики и нашли применение в механике и физике. Развитию римановой геометрии послужило создание итальянскими учеными Риччи-Курбастро и Леви-Чивита тензорного исчисления.

среда, 7 ноября 2012 г.

Ар-деко. Крайслер-билдинг


Кра́йслер-би́лдинг (англ. Chrysler Building) — небоскрёб компании «Chrysler Corporation», построенный в 1930, один из символов Нью-Йорка. Здание высотой 319 м (1 046 футов) расположено в восточной части Манхэттена на пересечении 42-й улицы и Лексингтон Авеню. 
Заказал проект этого здания архитектору Уильяму ван Элену (англ. William van Alen) бывший сенатор Уильям Х. Рейнольдс. Готовый проект был впоследствии продан Уолтеру П. Крайслеру под штаб-квартиру компании.
 Шпиль из нержавеющей стали марки Nirosta, собранный внутри здания из отдельных элементов, был установлен на вершине здания в ноябре 1929 года, превратив небоскрёб «Крайслер» не только в самое высокое здание в мире, но и в самую высокую конструкцию. Этим титулом ван Элен и Крайслер наслаждались меньше года, потом он перешёл к Эмпайр-стейт-билдинг. 
Небоскрёб Крайслер был открыт для публики 27 мая 1930.
Он является примером ар-деко в архитектуре. Своеобразная орнаментация башни повторяет мотивы дизайна колпаков на дисках колёс автомобилей марки Крайслер того времени. Возможно — это лучший образец периода Ар-деко в архитектуре Нью-Йорка, самого красивого периода в развитии города.
Необыкновенно элегантен холл, а на вершине здания находилась обзорная площадка, которая через несколько лет была заменена рестораном. 
В 2007 году комиссия по архитектуре Нью-Йорка определила небоскрёб Крайслера «Самым красивым Небоскрёбом Манхеттена». Оно вошло в десятку красивых небоскрёбов Нью-Йорка, заняв первое место.





Ар-деко. Посуда

 
      



пятница, 2 ноября 2012 г.

Лист Мёбиуса

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. 

Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «Афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.
Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них.
М. Эшер.



Август Мёбиус

17 ноября 1790 года в княжестве Шульпфорте, которое расположено вблизи Наумбурга (Саксония-Анхальт) в семье школьного учителя родился Август Мёбиус. Еще в раннем детстве Август проявил свои незаурядные способности в области математики. Обучаясь дома, мальчик проявлял наибольший интерес к занятиям математикой. Успешно закончив колледж в Шульпфорте Август Мебиус поступает в Лейбцигский университет, начинает изучать право. Однако Август Мёбиус решает всецело посвятить себя служению любимой науке — математике. На принятие столь важного решения сильное влияние оказал преподаватель Мёбиуса знаменитый астроном и математик Моллвейде.

В 1813 году Мёбиус перебирается в Гёттингене, где посещает университетские лекции по астрономии выдающегося ученого Карла Гаусса. В 1814 году Мёбиус уезжает в Халле для того, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа. Знания, почерпнутые Мёбиусом, из лекций выдающихся ученых, позволили ему достичь больших высот в математической науке.

 В 1815 году Мёбиус принимается за работу над написанием докторской диссертации, которую блестяще защищает через год. Получив докторскую степень, Мёбиус переходит на освободившуюся должность экстраординарного профессора кафедры астрономии в Лейпциге.

В 1816 году Август Мёбиус начинает работу в качестве наблюдателя в Плейсенбургской астрономической обсерватории, что близ Лейпцига. Мёбиус принимал активное участие в переустройстве обсерватории.

В 1825 году, после смерти Моллвейде, Мёбиус вступает на должность ординарного профессора астрономии. Более того, именно в этот период математические исследования Мёбиуса получают всеобщее признание и известность.

В 1848 году становится директором Плейсенбургской астрономической обсерватории.

В 1858 году Мёбиус совершает уникальное открытие. Им было установлено существование односторонних поверхностей. В доказательство Мёбиус изобретает необыкновенный лист или, как ее еще называют, ленту. Лента Мёбиуса представляет собой простейшую неориентируемую двумерную поверхность с краем, допускающую существование трёхмерного Евклидово пространства.

В научном мире Август Мёбиус известен как автор многочисленных исследовательских работ по проективной геометрии, математическому анализу и теории чисел.

Август Мёбиус был первым, кто ввел в научный обиход однородные координаты и стал использовать аналитические методы исследования в проективной геометрии. Составил новую классификацию кривых и поверхностей, сформулировал общее понятие проективного преобразования, которое впоследствии получило его имя, изучил коррелятивные преобразования.

В 1827 году Август Мёбиус написал удивительную по глубине и богатству математических идей книгу «Барицентрическое исчисление». В этом сочинении Мёбиус вводит понятие барицентрических координат точек плоскости. Позднее в 1837 году Мёбиус опубликовал свое двухтомное сочинение «Руководство по статистике. Эти книги являет собой значительное исследование проективной геометрии.

Кроме того, Мёбиус первым рассмотрел пространственные алгебраические кривые третьего порядка и подробно изучил их свойства.

В теории числе Мёбиусом была впервые выведена формула обращения, которая впоследствии была названа его именем.
(БДЭ  Математика)

Русские художники. Репин И. Е.


Р˜ЕПИН Илья Ефимович [24 июля (5 августа) 1844, Чугуев, ныне Харьковская область Украины — 29 сентября 1930, Куоккала, ныне Репино в Ленинградской области], русский художник.

Родился в семье военного поселенца, первые художественные навыки получил в местной школе военных топографов. Переехав в Петербург, с 1863 учился в рисовальной школе Общества поощрения художеств и  в Академии художеств. . В 1877 возвратился в Чугуев, затем жил в Москве и (с 1882) в Петербурге, а с 1900 — в Куоккале, в своем имении «Пенаты». Совершал неоднократные поездки по России и в зарубежные страны Европы. 
Уже религиозные картины, исполненные по академическим программам являют удивительный дар, умение подчинить все компоненты образа общей драматической задаче. В 1872 году за программную работу «Воскрешение дочери Иаира» получил Большую золотую медаль и право на 6-летнее обучение в Италии и Франции, где завершил художественное образование.


 «Бурлаки на Волге» (1870-73) тоже пишутся как академический заказ.  Картина, которая, сразу сделав молодого мастера знаменитостью, производит сенсацию. 


В 1882 году переезжает в Петербург, где становится деятельным членом Товарищества передвижных художественных выставок, к которому он примкнул с 1874 г., став одним из вождей реалистической школы живописи. На выставках товарищества появляются его картины: «Правительница Софья Алексеевна в монастыре» (1879), «Крестный ход в Курской губернии» (1883), «Не ждали» (1884), «Иван Грозный и его сын Иван» (1885).

В 1878 году, от гостя в Абрамцеве, Репин услышал рассказ украинского историка о том, как турецкий султан писал к запорожским казакам и требовал от них покорности. Ответ запорожцев был смел, дерзок, полон издёвок над султаном. Репин пришёл в восторг от этого послания и сразу сделал карандашный эскиз. После этого он постоянно возвращался к этой теме, работая над картиной более десяти лет. Она была закончена только в 1891 году.
Казаки пишут письмо турецкому султану (Русский музей)


В 1901 году художник получает правительственный заказ: написать торжественное заседание Государственного Совета в день столетнего юбилея. Грандиозное многофигурное полотно (35 м²) «Торжественное заседание Государственного Совета 7 мая 1901 года» (1901—1903), в исполнении которого принимали участие Б. М. Кустодиев и И. С. Куликов, было написано в течение двух лет. На парадном портрете изображено более восьмидесяти человек — сановников Государственного Совета, во главе с царём и членами царствующего дома. К картине Репин написал пятьдесят этюдов-портретов и эскизы.


Заседание государственного совета (Русский Музей)


Чрезвычайно важную часть репинского наследия составляют его портреты.


 В 1917 Репин пишет новый вариант «Бурлаков» под названием «Быдло империализма» (Азербайджанский музей искусств имени Р. Мустафаева, Баку), тем самым как бы приветствуя революцию. Однако, отъединенный от Советской России (когда Финляндия обрела независимость) в своих «Пенатах», он затем неоднократно выражал неприятие нового режима.
Несмотря на приглашения на самом высоком официальном уровне Репин в итоге так и не возвращается на родину, хотя дарит в советские музеи свои картины, поддерживает связи с учениками и друзьями .
Художник скончался 29 сентября 1930 года в Куоккале, где и был похоронен в парке своих любимых «Пенат».


четверг, 1 ноября 2012 г.

Муха. Ноябрь


Квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба


КВАДРАТУРА КРУГА - задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Под квадратурой круга понимают  как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о  пытались решить первоначально с помощью циркуля и  линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (напр., Гиппократовы луночки). 
Попытки решения задачи, продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская Академия Наук, а затем и другие академии стали отказываться от рассмотрения  работ, посвящённых квадратуре. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена  неразрешимость задачи с помощью циркуля и линейки.

ТРИСЕКЦИЯ УГЛА (от лат. tri-, в сложных словах - три и sectio - разрезание, рассечение), задача о разделении угла на три равные части. Сыграла большую роль в развитии математических  методов. Первоначально решение стремились найти с помощью простейших геометрических средств - циркуля и линейки (без делений, рассматриваемой как инструмент для проведения прямых линий), что удавалось, однако, лишь в отдельных случаях (напр., для углов в 90° и 90°/2n, где n - натуральное число). 
Строгое доказательство невозможности точной трисекции в общем случае с помощью циркуля и линейки (т. е. неразрешимости в квадратичных радикалах кубического уравнения, к которому сводится трисекция) дано лишь в 19 в. 
Задача становится разрешимой, если для неё расширить средства построения. Так, в сочинениях Архимеда (3 в. до н. э.) трисекция производится с помощью приёма "вставки", осуществляемого циркулем и линейкой с делениями. 

УДВОЕНИЕ КУБА, классическая задача древности о построении куба, имеющего объём вдвое больший,чем данный куб. Задачу нередко наз. делийской (иногда - делосской) задачей, по преданию, для избавления от эпидемии на острове Делос (Эгейское море) оракул потребовал вдвое увеличить кубический жертвенник, не меняя его формы. Задача сводится к построению отрезка, численно равного квадратному корню из 2, что (как доказано в 19 в.) не может быть выполнено при помощи только циркуля и линейки. Задача становится разрешимой, если для её решения привлечь конические сечения.

Гиппократовы луночки

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного прогресса не добился
Гиппократ Хиосский (Hippokrates) (2-я пол. 5 в. дон. э.), древнегреческий геометр, автор первого систематического сочинения по геометрии (не дошедшего до нас), которое, вероятно, охватывало материал первых 4 книг Начал Евклида.