четверг, 10 января 2013 г.

Золотое сечение

О золотом сечении почитатйте на этой странице http://geometry-and-art.ru/goldenratio.html

Фракталы

О фракталах почитайте на этой странице http://geometry-and-art.ru/fractal.html

Сюрреализм и метафизическая живопись

О сюрреализме  почитайте на этой странице  http://geometry-and-art.ru/surrealizm.html

Абстракционизм

Об абстракционизме почитайте на этой странице http://geometry-and-art.ru/abstraktionizm.html

Конструктивизм

О конструктивизме почитайте на этой странице http://geometry-and-art.ru/konstruktivizm.html

Геометрический орнамент

О геометрическом орнаменете почитайте на моём сайте Геометрия и искусство   http://geometry-and-art.ru/geomornament.html

Окружность и круг в искусстве


Почитатйте на странице http://geometry-and-art.ru/aboutcircle.html

среда, 9 января 2013 г.

Проблемы Гильберта

В августе 1900 года в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр. Несмотря на то, что одни проблемы не являются типично математическими (например, математическое изложение аксиом физики), а другие недостаточно четко сформулированы (проблема прямой, являющейся самым кратким соединением двух точек), их решению до настоящего времени отводится немало времени, о чем свидетельствует тот факт, что на сегодняшний день из 23 проблем не решены только 2: проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха), а также распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.
-------------------------------------------------------------------------------------
Давид Гильберт (1862- 1943) - немецкий математик, член-корреспондент Берлинской Академии Наук (с 1913). В 1884 г. окончил Кенигсбергский университет.С 1893-1895 гг.- профессор Кенигсбергского университета. С 1895-1943 гг.- профессор Геттингенского университета.






------------------------------------------------------------------------------------

К числу решенных проблем, поставленных Гильбертом, с полным правом относятся следующие:
  • Проблема равенства равновеликих многогранников (тетраэдров)
  • Проблема причастности непрерывных групп к группам Ли
  • Проблема доказательства трансцендентности или иррациональности числа 2 корень из 2
  • Проблема разрешимости Диофантова уравнения (теорема Ферма)
  • Проблема исследования квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
  • Проблема невозможности решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных
  • Проблема доказательства конечной порожденности алгебры инвариантов алгебраической группы
  • Проблема представления определенных форм в виде суммы квадратов
  • Проблема конечности числа кристаллографических групп (построение пространства из конгруэнтных многогранников)
  • Проблема решений регулярной вариационной задачи Лагранжа
  • Проблема общей задачи о граничных условиях
  • Проблема доказательства существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии
  • Проблема униформизации аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
  • Проблема развития методов вариационного исчисления.
Несколько проблем — доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле, строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта, а также топология алгебраических кривых и поверхностей — были признаны решенными частично. Кроме того, по двум проблемам — Континуум-гипотезе (проблема Кантора о мощности континуума) и непротиворечивости аксиом арифметики — до сих пор нет четкого мнения в плане того, насколько они решены.
Не так давно, в 2000 году, в бумагах Гильберта была обнаружена 24 насущная математическая проблема — проблема теории доказательств критерия простоты и общих методов, которую ученый вычеркнул из своего списка в последний момент.

Жюль Анри Пуанкаре. Гипотеза Пуанкаре

Помимо знаменитых семи чудес света,  существуют и знаменитые семь математических задач тысячелетия, решение которых способно вызвать сенсацию в научном (и не только!) мире. К числу этих удивительных задач относится и гипотеза Пуанкаре, за доказательство которой Математическим институтом Клэя назначена поистине сверхъестественная премия — один миллион долларов.
Итак, как известно, существует удивительная наука — топология (иногда ее называют «резиновой геометрией»), особенность которой заключается в своеобразном взгляде на предметы. Своеобразие это заключается в том, что два совершенно различных, на наш — обывательский — взгляд предмета (тенистый мячик и арбуз, колечко от пирамидки и спасательный круг) обладают абсолютным сходством в зависимости от наличия в них отверстий. Очень часто для объяснения топологических закономерностей прибегают к примеру с воздушным шариком. Вне зависимости от того, каким способом мы будем менять его форму (наполнять воздухом, растягивать, перекручивать и пр.), на поверхности шарика это ни коим образом не отразится: он как был шаром, так им и останется до тех пор, пока не произойдет разрыв поверхности. Таким образом, сфера (воздушный шар) и тор (колечко от пирамидки) имеют различные топологические свойства. Учеными XIX века было доказано, что «любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера». Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что ученый попытался перенести это утверждение на трехмерные объекты. Взяв за основу доказанное утверждение, что лежащая на поверхности двухмерной сферы петля может быть медленным перемещением сконцентрирована в одной точке, Пуанкаре в 1904 году предположил возможность того же самого явления и на трехмерной поверхности, которая — как следствие — сможет непрерывно деформироваться в трехмерную сферу.
Попытки доказать гипотезу Пуанкаре предпринимались неоднократно (Стивен Смэйл, Джон Стэллингс, Эндрю Уоллес, Фридман), однако все достигнутые решения не касались трехмерного — наиболее сложного — случая, который в 2002 году покорился петербургскому математику Григорию Перельману, отказавшемуся на удивление всего мира не только от европейской премии по математике, но и от миллионной премии.
_____________________________________________

ЖЮЛЬ АНРИ ПУАНКАРЕ (1854-1912), французский математик, физик и астроном. Высшее образование получил в Политехнической школе, затем в Горной школе, которую окончил в 1879. В том же году защитил докторскую диссертацию. С 1881 работал в Парижском университете - сначала профессором механики, затем заведующим кафедр математической физики, математической астрономии и небесной механики. Значительное число работ Пуанкаре по математике связано с исследованием проблем небесной механики, в частности фундаментальной проблемы трех тел. Именно занимаясь ее решением, он исследовал расходящиеся ряды и построил свою теорию асимптотических разложений, разрабатывал теорию интегральных инвариантов, изучал вопросы устойчивости орбит и формы небесных тел. Его фундаментальные открытия, касающиеся поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений как вблизи особенностей, так и в целом, тоже связаны с решением задач небесной механики. Пуанкаре опубликовано также большое число работ по теории так называемых автоморфных функций, по дифференциальным уравнениям, топологии, теории вероятностей. Помимо более чем 1500 статей он написал ряд фундаментальных работ, в частности 10-томный Курс математической физики.  Методы математической физики Пуанкаре использовал для решения задач теплопроводности, электромагнетизма, гидродинамики, теории упругости. В 1904-1905 он сформулировал принцип относительности как фундаментальное и строгое положение, показал, что невозможно обнаружить абсолютное движение, исходя из уравнений Максвелла - Лоренца. Построил первый вариант релятивистской теории гравитации. Пуанкаре был членом многих академий наук, награжден медалями Дж.Сильвестра, Н.И.Лобачевского и др. 

вторник, 1 января 2013 г.

Исаак Ньютон


Величайший английский учёный, заложивший основы современного естествознания, создатель классической физики, член Лондонского королевского общества родился 25 декабря 1642 года в местечке Вульсторп, вблизи городка Грэнтэм, что в 200 километрах к северу от Лондона.

По окончании школы в 1661 Ньютон поступил в Тринити-колледж (Колледж святой Троицы) Кембриджского университета. К этому времени уже сложился целеустремленный и могучий характер Ньютона. Научная дотошность, стремление проникнуть в самую суть предмета, нетерпимость к обману и лжи, равнодушие к славе стали отличительными чертами характера великого ученого.
«Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов» — говорил Ньютон. Главной научной опорой и вдохновителями творчества Ньютона в наибольшей степени были такие великие физики, как Галилей, Декарт и Кеплер. Доведя до конца их труды, Ньютон объединил их в универсальную систему мира. Также влияние на становление гения Ньютона оказали работы Евклида, Ферма, Гюйгенса, Валлиса и его учитель Барроу.
Открытия и достижения Ньютона открыли новую эпоху в физике и математике. С именем Ньютона связывают появление в математике аналитических методов, в физике — построение адекватных математических моделей природных процессов и их всестороннее исследование с помощью нового математического аппарата.
Будучи студентом Кембриджского университета Ньютон сделал свои первые математические открытия. Среди них: классификация алгебраических кривых 3-го порядка (кривые 2-го порядка исследовал Ферма) и биномиальное разложение произвольной степени. Последнее из перечисленных открытий послужило отправной точкой в создании знаменитой теории бесконечных рядов, которая впоследствии станет эффективным и мощным инструментом математического анализа.
Ньютон доказал, что разложение в ряд является общим и главным методом анализа функции. Мастерски используя этот метод, Ньютон с легкостью решал уравнения, в том числе и дифференциальные, исследовал поведение функций, сумел получить разложение для всех стандартных функций.
Независимо от Готфрида Лейбница Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление.
Кроме того, Ньютон глубоко исследовал разностные методы.
Наиболее полное изложение принципов анализа Ньютон было опубликовано в работе «О квадратуре кривых» 1704 года как приложении к монографии «Оптика». Это первый научный труд Ньютона, который стал доступен всем. В нем Ньютон указал производные высших порядков, значения интегралов разнообразных рациональных и иррациональных функций, примеры решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Следуя уговорам своих коллег, Ньютон публикует в 1707 году книгу «Универсальная арифметика». В ней великий математик приводит разнообразные численные методы. Его знаменитый метод позволял находить корни уравнений по упрощенной форме и с гораздо большей точностью (опубликован в «Алгебре» Валлиса, 1685).
В 1711 году Ньютон, спустя 40 лет после написания, опубликовал науный труд под названием «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов». Здесь Ньютон исследовал алгебраические и «механические» кривые (циклоид, квадратрис) и частные производные.
В сочинении «Метод разностей» Ньютон определил интерполяционную формулу для проведения через (n + 1) точки с равноотстоящими или неравноотстоящими абсциссами многочлена n-го порядка.
В 1736 году уже после смерти великого ученого издается научный труд «Метод флюксий и бесконечных рядов», в котором приводятся многочисленные примеры поиска экстремумов, касательных и нормалей, вычисление радиусов и центров кривизны в декартовых и полярных координатах, отыскание точек перегиба и прочее.
В заслугу Ньютона также следует отнести не только разработку методов анализа, но и обоснование его принципов. Именно Ньютон предложил общую теорию предельных переходов, под названием «метод первых и последних отношений». Эта теории подробно изложена в 11 леммах книги I «Начал».
Больших успехов Ньютон достиг в механике. Наиболее важным достижением Ньютона в аксиоматической механике является решение двух фундаментальных задач:
  • Создание для механики аксиоматической основы, благодаря которой наука становится в ряд строгих математических теорий.
  • Создание динамики, которая связывает поведение тела с характеристиками внешних воздействий на него (сил).
Особенно ценно открытие Ньютона, связанное с опровержением античных представлений о том, что земные и небесные тела движутся под воздействием разных законов. В разработанной Ньютоном модели мира Вселенная подчинена трем единым законам:
  • Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.
  • Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
  • Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.
Более того, Ньютон утверждал в своих «Началах», что пространство и время являются абсолютными понятиями, едиными для всей Вселенной.

Именно Ньютон дает четкие определения многим физическим понятиям, в том числе: количество движения и сила. Вводит в физику понятие массы как меры инерции и гравитационных свойств. До него физики использовали понятие вес.
Вы наверняка помните, как Ньютон открыл знаменитый «закон тяготения». Надо сказать, что идея всеобщей силы тяготения была отнюдь не новой, однако первым, кто смог ясно и математически точно доказать связь закона тяготения и движения планет. Работы Ньютона в этой области положили начало новой науке — динамике.
Следует отметить тот факт, что Исааку Ньютону принадлежит заслуга открытия причины приливов: притяжение Луны. Более того, Нььютон сумел рассчитать точную массу Луны.
Интересно узнать, что в течение многолетних наблюдений, Ньютон определил, что Земля сплюснута у полюсов, из-за чего земная ось под воздействием притяжения Луны и Солнца медленно (период 26000 лет) смещается. Таким образом, было найдено научное объяснение одной из древнейших проблем «предварения равноденствий».

В оптике Ньютон изобрел первый в мире зеркальный телескоп (рефлектор). Более того, он открыл дисперсию света, доказал, что белый свет раскладывается на цвета радуги после преломления лучей при прохождении через призму. Именно Ньютон заложил основы правильной теории цветов.
Эти и другие открытия Ньютона в области математики и физике заставляют преклонить голову перед гением ученого. На статуе, воздвигнутой Ньютону в 1755 г. в его альма-матер — Тринити-колледже, высечены стихи из Лукреция:
Разумом он превосходил род человеческий (Qui genus humanum ingenio superavit).

Зимние забавы (картинки)-2






С Новым Годом!