пятница, 28 июня 2013 г.

Диофантовы уравнения

Диофантовыми уравнениями называют  алгебраические уравнения или системы  алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или  рациональные решения. При этом число  неизвестных в уравнениях должно быть не  менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.
Это, например, уравнения:
Зх + 5у = 7;
X^2+y^2 = z^2;
Зх^3 + 4у^3 = 5z^3.
Названы они по имени греческого  математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое  количество интересных задач, ее изучали  математики всех поколений. Книга сохранилась до  наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке.
Задачи поиска целочисленных и  рациональных решений обычно тесно связаны  между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения
К диофантовым уравнениям приводят  задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. Решение уравнений в целых числах  - очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения  конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие  приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.
Так, легко доказать, что по формулам х = 4 + 5г, у = — 1 — Зг (г-любое целое число) находятся все целочисленные решения  уравнения Зх + 5у = 7. Формулы для нахождения  целочисленных сторон прямоугольного  треугольника (т. е. для решения уравнения х^2 + у^2 = z^2) были известны еще древним  индийцам .
Решения диофантовых уравнений более  высоких степеней, а также систем уравнений  давались с большим трудом. Знаменитое  уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, х^n + у^n = z^n (n > 2) не решено до сих пор .
Даже при n = 3 диофантовы уравнения  поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение Зх^3 + 4у^3 = 5z^3 совсем не имеет  решений в целых числах, кроме нулевого. 
Правда, оказалось, что кубические  уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что  уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число  целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что  уравнение Ферма при всяком n > 2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.
Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова  уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский  математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого  общего способа быть не может.
Решение уравнений в целых числах - один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой  интереснейшей теории.


Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика, 1989

пятница, 7 июня 2013 г.

Собор Святой Софии в Киеве

Собор Святой Софии в Киеве — древнейший памятник, который сохранил монументальную живопись домонгольской Руси. Он воздвигнут в середине XI в. в честь победы князя Ярослава Мудрого над пришлыми кочевниками-печенегами. Великолепное внутреннее убранство собора выполнили, соединив мозаику и фреску, греческие мастера, поэтому оно в наибольшей степени соответствует византийской системе росписи.



Основу этой системы составляет восприятие пространства храма как «земного неба», в котором присутствует Бог. Персонажи Священной истории в росписи собора размещаются в строгом порядке, обусловленном ходом византийского богослужения (греч. «литургия»). Во время церковной службы внимание верующего сосредоточено на двух основных частях храма: про-странстве под куполом, где находится амвон (место, откуда священник возглашает текст Священного писания или проповеди), и на алтаре, расположенном в восточном полукружии храма (апсиде). Всё пространство храма мысленно делится на две зоны — «небесную» (купол и апсида) и «земную» (стены и западные столбы). Само богослужение символически уподобляется небесной службе, совершаемой Христом и его ангелами.
В «небесной» зоне царит изображение Христа, ибо он, как говорится в Священном писании, «Царь царствующих и Господь господствующих». Христос Вседержитель (греч. Пантократор) с Евангелием в руках располагается в центральном куполе Софии Киевской. Мощная полу-
фигура его заключена в медальон (круглое обрамление). Суровый Пантократор, Создатель и Властитель мира, словно обозревает землю с небес. Медальон с изображением Христа окружают архангелы — небесное воинство (из четырёх мозаичных фигур ныне сохранилась лишь одна, три другие написаны гораздо позднее маслом).
В барабане центрального купола собора изображены  апостолы  — ученики Христа. На столбах, поддерживающих купол, представлены фигуры четырёх евангелистов — главных авторов  Нового завета, которых именовали также «столпами евангельского учения».
По церковным канонам  (правилам)  в небесной иерархии второе место после Христа  занимает Богоматерь. Её образ символизирует Церковь  земную. Это заступница всех людей перед грозным  ликом  Господним.  Одиноко стоящая фигура Богоматери  Оранты   (от лат. orans — «молящаяся»), с поднятыми в молитвенном обращении к Спасителю руками, помещена в апсиде Софии Киевской. Монументальность фигуры, высота которой достигает пяти метров, и огромная внутренняя сила образа побудили современников назвать киевскую Оранту Нерушимой Стеной.
По византийской системе росписи рассказ о земной жизни, чудесах и страстях (мучениях) Иисуса Христа в виде отдельных последовательно идущих сцен занимает боль-шую часть стен храма. В нижней части стен и столбов располагаются многочисленные изображения святых воинов и Отцев Церкви, мучеников и праведников. Они находятся на высоте, приблизительно равной человеческому росту, и как бы вместе со всеми возносят молитвы к Богу. Для внимательного зрителя все сцены и композиции ансамбля складываются в стройный рассказ о событиях Священной истории в ярких, красочных образах.
Фрески древней Киевской эпохи отличаются строгостью следования принципам византийской системы росписи и торжественной монументальностью.


ФРЕСКИ СОБОРА СВЯТОЙ СОФИИ В КИЕВЕ
В храме Святой Софии в Киеве, в одной из апсид, располагается фреска, повествующая об истории жизни Богоматери. Изображены благочестивые бездетные Иоаким и Анна, которые обратились к Богу с молитвой о рождении дитя. Их дочь Марию в трёхлетнем возрасте ввели в Иерусалимский храм, откуда Её взял в свой дом старец Иосиф. Однажды Мария услышала голос у колодца, а после увидела ангела, который принёс благую весть о том, что Она родит от Духа Святого, — Церковь называет это событие Благовещением. Высоко вверху, на столбах, находится изображение ангела в белоснежных одеяниях, стремящегося к Марии, изображённой по другую сторону главной арки. С этого мгновения в истории человечества начинается история Христа. Повествующие о ней фрески плохо сохранились: позже на них были нанесены другие росписи. И только в XIX в. первоначальные фрески были отреставрированы.
Среди фресок собора Святой Софии сохранилось несколько изображений нецерковного, светского, содержания. Например, два групповых портрета семьи великого князя киевского Ярослава Мудрого и несколько бытовых сценок — охота на медведя, выступления скоморохов и акробатов.

Искусство. Энциклопедия для детей. Том 7- Изд. Аванта, 1997

суббота, 1 июня 2013 г.

Ар нуво. Рене Лалик

Рене́ Лали́к (1860— 1945) — французский ювелир и стеклянных дел мастер, один из выдающихся представителей ар нуво.
Занимался производством разнообразных стеклянных изделий, в том числе ваз, осветительных приборов, ювелирных украшений с использованием цветного стекла, и фигур-символов для автомобильных радиаторных решёток.
Среди наиболее известных произведений Рене Лалика — вазы Вакханки, Лучники, Неразлучники, хрустальные скульптуры, украшения для автомобильных радиаторов. Он экспериментировал с янтарем, эмалью, сплавами металлов, любимыми полудрагоценными камнями, рогом и черепашьим панцирем. Образы: стрекозы и скарабеи, павлины и колосья пшеницы, силуэт женщины.
Рене Лалик много экспериментировал со стеклом. Необычное цветное стекло и стекло с нанесённой на него патиной (цветной эмалью) — характерная особенность произведений Лалика. Рецепт знаменитого опалесцентного стекла Лалика до сих пор является «секретом фирмы».
Свой талант Лалик приложил и к созданию хрустальных флаконов для парфюмерной компании Коти и других.
В последние годы жизни Рене Лалик много занимался  оформлением гостиниц, церквей, ресторанов. Пароход Нормандия оформлен фирмой Лалик. Световые панели, люстры, бра, панели дверей, колонны, предметы сервировки, посуда, интерьерные украшения, фонтаны и многое другое выпущено фирмой в 1930-40 годы.







Картины. Лето в русской живописи

И. Левитан


А. Пластов

И. Шишкин
А. Рылов

А Герасимов