вторник, 19 апреля 2016 г.

К уроку алгебры. Математический аукцион.

Пусть даны два числа а и b, причем а = 1,5 b
Умножим обе части уравнения на 4 и получим:
4а = 6b.
Представим левую часть в виде: 4а = 14а – 10а и правую: 6b = 21b – 15b.
14а – 10а = 21b – 15b
15b – 10a = 21b – 14a
5(3b – 2a) = 7(3b – 2a).
Разделим обе части полученного уравнения на 3b – 2a.
Получили, что 5 = 7.
Найдите ошибку.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
•     1. Останутся ли верными формулы сокращенного умножения, если в них вместо букв a, b, ... подставить любые целые выражения?
•     2. Для чего применяются формулы сокращенного умножения?
•     3. Какими способами можно разложить многочлен на множители?
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Решить уравнение
x2 + 2х + 1 = 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------
 Решить уравнение
4x2 – 4х + 1 = 0
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------
Решить уравнение
x2 – 25 = 0
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------
Решить уравнение
х3 – 27 = 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Решить уравнение
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители
x4 + 3x2 + 2
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители
 (x + y) + (x + y)2 + (x + y)3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители
 x16 – у16
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача Диофанта: доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется в виде суммы двух квадратов, т. е.
(a2 + b2)(с2 + d2) = (ас + bd)2 + (bс – ad)2
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Верно ли тождество?
(а + b) (а – b) (а2 – ab + b2) (a2 + аb + b2) = = а6 – b6
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
 Представить в виде квадрата суммы:
х⁴+3х²+2
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Доказать, что при любом n значение выражения делится на 6:
n(n-1)-(n+3)(n+2)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Раскрыть скобки:
(3a-2b)(2a-3b)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители:
y²-2yz+z²
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
 Разложить на множители:
1+6k+9k²
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
 Разложить на множители:
a²+16a+64
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители:
4x²-20xy+25y²
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Сократить дробь
5m-10n
m²-4n²
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Сократить дробь
4x²-4x+1
4x²-1
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Вычислить
        1,4²-0,4²
________________ 
1,4²+2·1,4·0,4+0,4²
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить
mx²-mz²
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить
(k+m)²-n²
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить
-c²+d²
 ------------------------------------------------------------------------------------------------------
Доказать:
 (–a – b)2  = (a + b)2
 ------------------------------------------------------------------------------------------------------
Доказать:
 (a – b)2 = (b –a)2

К уроку изо. Графика








понедельник, 4 апреля 2016 г.

Алфавитная запись чисел

Алфавитная запись чисел — это система, в которой буквам обозначаются числовые значения. Как правило, первые девять букв алфавита имеют значение от 1 до 9, следующие девять — от 10 до 90, и т. д. Для очень записи больших чисел используют диакритические знаки, которые показывают что перед нами не единицы, а тысячи.

Алфавитные системы всегда были более совершенными непозиционными системами счисления. В их число входили:
  • Славянская (кириллическая);
  • Ионическая (греческая);
  • Финикийская (арабская) и многие другие.
Алфавитный способ записи чисел был предтечей позиционной системы счисления, поскольку именно в нем использовались одни и те же символы, с добавлением специальных знаков (для определения значения разряда) для обозначения единиц разных разрядов.

Вплоть до XVII века алфавитная форма записи чисел была официальной на территории многих стран, в том числе: России и Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. В России славянская нумерация сменилась «арабской нумерацией» при реформах Пертра  I. Однако в церковных книгах и писания алфавитная нумерация сохранилась и по сей день.

Итак, рассмотрим подробнее кириллическую и греческую системы алфавитной записи чисел.
Греческая запись чисел официально была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского. За короткий срок эта алфавитная система записи распространилась по всему миру.

Для графической записи чисел греки использовали как строчные, так и прописные буквы. Порядок записи был следующим: сотни-десятки-единицы. Различие чисел от слов текста заключалось в том, что над (или после) буквами-числами ставилась черта, так называемый числовой апостроф. Те же буквы обозначали и тысячи, и десятки тысяч, и сотни тысяч. От простых чисел они отличались тем, что числовой апостроф ставился внизу слева.
Кириллическая система записи была заимствована у греков. Как в древнем, так и в современном церковнославянском тексте числа на письме обозначаются буквами. 

Приведем примеры числовых значений славянских букв:
Единицы а в г д є s з и к
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Десятки і к л м н ? ? п ч
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Сотни р с т у ф х ? ? ц
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Преимущественно для записи чисел славяне использовали строчные буквы. Однако встречаются тексты, в которых можно найти примеры использования прописных букв. Порядок записи был таким: сотни-десятки-единицы, но в числах, оканчивающихся на 11, 12, ..., 19, последние два знака переставляются согласно славянскому прочтению (один-на-дцать, то есть сперва «один», а потом «дцать» = 10). Для обозначения тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч использовали те же буквы, что и для единиц, только со специальным числовым апокрифом, который назывался «титло»
Интересно отметить, что 5 первоначально обозначала буква «е», которая позже развилась в «длинный вариант» украинской буквы «є».

Для буквенного обозначения числа 6 в древности имелось два варианта: обычная буква «зело» (?) и зеркально перевернутая.
Кстати сказать, что буква «і» в числовом употреблении точек не имеет.

В самых древних кириллических текстах значение числа 90 выражалось с помощью заимствованного у греков символа «коппа».
Надо сказать, что в разные периоды истории кириллическая запись числе имела особые приметы:

  • До и после числа, а иногда и между «цифрами» ставились точки;
  • Знак титла мог ставиться над каждой буквой, либо же мог быть поставлен над все числом;
  • Большие числа (десятки тысяч, сотни тысяч) могли выражаться на письме без специального знака, а особым способом обведения числа. Каждому виду обведения соответствовал разряд чисел: сплошной кружок — десяткам тысяч («тьмам»), пунктирный — сотням тысяч («легионам»), из запятых — миллионам («леодрам»), из крестиков — десяткам миллионов («вранам») и т. п.
CD Большая энциклопедия математики, 2009

Дроби на Руси

В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять".

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

1/2– половина, полтина, 1/3– треть,

1/4– четь, 1/6– полтреть,

1/8– полчеть, 1/2– полполтреть,

1/16– полполчеть, 1/24– полполполтреть (малая треть),

1/32– полполполчеть (малая четь), 1/5– пятина,

1/7– седьмина, 1/10– десятина.

(учебник математики 5 класс Виленкин. Мнемозина, 2008)

О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним». 

(Энциклопедия для детей. Том 11. Математика.  «Аванта+»,1998)